群、环、域

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概念

• 群：具有一个二元代数运算的代数系统
• 环：具有两个代数运算的代数系统
• 域：特殊的环

代数系统

代数运算

在集合S中任取n个元素a1,a2,…an进行一个运算f，f(a1,a2,…an)=c，得到的c也属于集合S，则f是n元代数运算

实例判断

1. 自然数集N上的加法、减法、乘法、除法，哪些是在N上的二元代数运算？

2. 整数集上的加法、减法、乘法、除法，哪些是在N上的二元代数运算？

待补充

代数系统

设S是一个非空集合，f1,f2,…fm是S上的若干代数运算，把S及其运算f1,…fm作为一个整体来看，叫做一个代数系统，记作(S,f1,…fm)

实例判断

1. S为一个非空集合，p(S)是S的幂集，交运算和并运算是p(S)上的运算，(p(S),交，并)是代数系统吗？

待补充

群

半群

1. G是一个非空集合
2. @是G上的一个二元代数运算且@满足结合律

满足1，2的代数系统(G,@)为半群

实例

1. 设Z为整数集，+、-、*是数的加法、减法、乘法，问(Z,+),(Z,-),(Z,*)是半群吗？

待补充

群

1. G为半群
2. G中有一个元素1，对于G中任意元素a，都有1 @ a = a @ 1 = a
3. 对于G中任意元素a，都可以找到G中一个元素a(-1)，满足a @ a(-1) = a(-1) @ a = 1，其中a(-1)表示a逆

满足1，2，3的代数系统(G,@)为群

群的性质

待补充…

特殊群

阿贝尔群/交换群

群(G,@)中，@运算适合交换律，则此群为交换群

置换群

群G中所有元素经过置换变换@后得到的元素集合是原始元素的一个新的排列，则群(G,@)是置换群

• n元置换群又称为n次对称群

置换群相关的一些概念，待补充….

子群

1. (G,@)是一个群
2. H是G的一个子集，按照运算@，H仍然是一个群

满足1，2的代数系统(H,@)为(G,@)的子群

平凡子群
一个群G都有两个明显的子群，一个是由其单位元素组成的子群，称为单位子群；还有一个就是G本身。这两个子群称为平凡子群。

子群的判别条件

循环群

生成元

1. 设a是群(G,@)中的一个元素
2. a的所有幂的集合作为G的一个子群，记为(a)

此群称为a生成的子群

循环群

若一个群可由其某个元素a生成，则G是一个循环群

陪集